دوره یک دوره‌ کامل و مقدماتی در معادلات دیفرانسیل

آنچه یاد خواهید گرفت: معادلات دیفرانسیل را بر اساس نوع و مرتبه‌ی آن‌ها طبقه‌بندی کنید. معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی اول جداشدنی، خطی، همگن، دقیق و همچنین انواع دیگری را که با جایگذاری‌های مختلف قابل حل هستند، حل کنید. از معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی اول برای مدل‌سازی کاربردهای مختلف در علوم استفاده کنید. معادلات خطی مرتبه‌ی دوم با ضرایب ثابت را، چه همگن و چه ناهمگن، با استفاده از روش ضرایب نامعین، تغییر پارامترها و تبدیل لاپلاس حل کنید. نظریه‌ی معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه‌ی دوم و ارتباط آن با مفاهیم جبر خطی را درک کنید. از معادلات خطی مرتبه‌ی دوم با ضرایب ثابت، چه همگن و چه ناهمگن، برای مدل‌سازی کاربردهای علمی استفاده کنید. تبدیل لاپلاس و تبدیل لاپلاس معکوس را به‌دست آورید. از تبدیل لاپلاس برای حل معادلات خطی مرتبه‌ی دوم با ضرایب ثابت که شامل توابع نیرویی مانند ضربه‌ها، توابع پله‌ای و توابع تناوبی هستند، استفاده کنید. سیستم‌های معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت را حل کنید و اهمیت مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را در یافتن جواب‌ها درک کنید. اهمیت نمایی ماتریسی و روش محاسبه‌ی آن را برای یافتن جواب‌های سیستم‌های خطی معادلات دیفرانسیل درک کنید. روش‌های عددی پایه را برای یافتن جواب‌های تقریبی معادلات دیفرانسیل به‌کار ببرید. مبانی برخی مفاهیم تحلیل مختلط و کاربرد آن‌ها در معادلات دیفرانسیل را درک کنید. با استفاده از نقاط تعادل، پرتره‌های فاز و تحلیل پایداری، سیستم‌های خطی را تحلیل کنید. از Maple برای حل تحلیلی و عددی معادلات دیفرانسیل استفاده کنید. همچنین از Maple برای مطالعه‌ی کیفی معادلات دیفرانسیل استفاده کنید. پدیده‌های دنیای واقعی را با معادلات دیفرانسیل مدل‌سازی کنید. جواب‌های سری برای معادلات خطی مرتبه‌ی دوم با ضرایب متغیر را به‌دست آورید. این متد را برای نقاط عادی و نقاط تکین منظم اعمال کنید. با استفاده از روش فروبنیوس، جواب‌های سری فروبنیوس را پیدا کنید. از کاهش مرتبه برای یافتن جواب‌های سری استفاده کنید. از سری‌های فوریه برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده کنید. معادله‌ی گرما، موج و لاپلاس را با استفاده از جداسازی متغیرها و سری‌های فوریه حل کنید. نظریه و کاربردهای سری فوریه‌ی عمومی، سری فوریه‌ی سینوسی، سری فوریه‌ی کسینوسی و همگرایی سری‌های فوریه را درک کنید. معادلات دیفرانسیل جزئی ناهمگن را حل کنید. از نظریه‌ی فضاهای برداری، عمودبودن توابع و ضرب داخلی، و عملگرهای خودالحاقی استفاده کنید و آن‌ها را در مسائل مقدارویژه‌ی استورم-لیوویل به‌کار ببرید. از بسط‌های تابع ویژه برای حل مسائل ناهمگن استفاده کنید. سیستم‌های خودمختار غیرخطی را با یافتن نقاط تعادل و پایداری تحلیل کنید. مفهوم خطی‌سازی و قضیه‌ی هارتمن-گروبمن را درک کنید. دوشاخه‌شدگی هاپف و همچنین دیگر دوشاخه‌شدگی‌های شناخته‌شده را پیدا و تحلیل کنید. روش‌های عددی را به‌کار ببرید و اهمیت پایداری و دقت را درک کنید. بتوانید آن‌ها را در Maple پیاده‌سازی کنید. بتوانید از حل‌کننده‌های پیشرفته‌ی معادلات دیفرانسیل استفاده کنید. پیش‌نیازهای دوره حساب دیفرانسیل و انتگرال سال اول توضیحات دوره این دوره همه‌ی مباحثی را آموزش می‌دهد که معمولاً در دو ترم اول یک درس دانشگاهی/کالجی معادلات دیفرانسیل تدریس می‌شوند. موضوعاتی که در این دوره بررسی خواهیم کرد عبارت‌اند از معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی اول معادلات خطی مرتبه‌های بالاتر متدهای تبدیل لاپلاس سیستم‌های خطی معادلات دیفرانسیل متدهای سری توانی معادلات دیفرانسیل جزئی سری‌های فوریه مسائل مقدارویژه‌ی استورم-لیوویل سیستم‌های غیرخطی معادلات دیفرانسیل متدهای عددی این دوره برای چه کسانی مناسب است؟ دانشجویانی که معادلات دیفرانسیل را در کالج یا دانشگاه می‌گذرانند. دانشجویانی که برای گذراندن درس معادلات دیفرانسیل در کالج یا دانشگاه آماده می‌شوند. هر کسی که می‌خواهد درباره‌ی موضوع معادلات دیفرانسیل بیاموزد.